Squares, cubes and roots
Squares, cubes and roots · quick mental shortcuts
14 मिनट में पढ़ें · अपडेट किया गया 2026-06-01
त्वरित उत्तर
वर्ग किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने पर बनता है और घन उसे स्वयं से तीन बार गुणा करने पर, जबकि मूल उल्टी दिशा में चलकर मूल संख्या निकालता है। कोई पूर्ण वर्ग 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं होता। 5 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग आगे के अंकों को अगले पूर्णांक से गुणा कर 25 लिखने से मिलता है — 45² = 2025।
कहानी
कल्पना कीजिए कि आप एक मिठाई की दुकान में जाते हैं। दुकानदार ने लड्डुओं को एक करीने से सजी square tray (वर्गाकार ट्रे) में रखा है — जितनी पंक्तियाँ (rows) हैं उतने ही स्तंभ (columns)। आप एक पंक्ति गिनते हैं: 6 लड्डू। दुकानदार कहता है, "इसमें 6 पंक्तियाँ हैं, हर एक में 6 लड्डू।" पूरी ट्रे में कुल कितने लड्डू हुए?
आप उन्हें एक-एक करके नहीं गिनते। आप बस कहते हैं 6 गुना 6 = 36। वह "6 का अपने आप से गुणा" ही square (वर्ग) कहलाता है। ट्रे एक वर्ग है, और कुल योग "6 का वर्ग" है।
अब पहेली को उलट दीजिए। आपकी छोटी बहन एक बिल्कुल वर्गाकार डिब्बे में 64 chocolates (चॉकलेट) भरी हुई देखती है और पूछती है, "हर पंक्ति में कितनी हैं?" आप एक पल सोचते हैं: कौन-सा अंक अपने आप से गुणा करने पर 64 देता है? इसका उत्तर है 8 (क्योंकि 8 x 8 = 64)। उस छिपे हुए अंक को ढूँढना ही square root (वर्गमूल) निकालना कहलाता है।
बस यही इस पाठ का पूरा खेल है। Squares (एक अंक का अपने आप से गुणा), cubes (एक अंक का अपने आप से तीन बार गुणा — जैसे चॉकलेट को घनाकार डिब्बे में तह-दर-तह रखना), और roots (छिपे हुए अंक को ढूँढने के लिए उल्टा चलना)। पाठ के अंत तक, आप 5 पर समाप्त होने वाले किसी भी अंक का वर्ग अपने दिमाग में 3 सेकंड में निकाल लेंगे, और बिना कैलकुलेटर के बड़े अंकों के वर्गमूल का अनुमान लगा लेंगे। चलिए शून्य से शुरू करते हैं।
UPSC के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है
CSAT Prelims Paper-II है। यह qualifying (अर्हक) है — इसे पास करने के लिए आपको केवल 33% चाहिए (80 में से लगभग 26-27 प्रश्न सही)। लेकिन "केवल 33%" भी हर साल हज़ारों उम्मीदवारों को गिरा देता है, क्योंकि वे आसान अंकगणित पर ही जम जाते हैं। Squares, cubes और roots पूरे पेपर के सबसे आसान, सबसे तेज़ अंक में से हैं।
ये क्यों इतने कीमती हैं, यहाँ देखिए:
- ये अंक कई अन्य प्रश्नों के भीतर छिपे होते हैं — किसी खेत का क्षेत्रफल (mensuration), geometry में Pythagoras (प्रसिद्ध 3-4-5 त्रिभुज), compound interest, time-speed-distance, यहाँ तक कि data interpretation। यदि आपको तुरंत पता हो कि 13^2 = 169 या 729 का cube root = 9, तो आप हर प्रश्न पर 15-20 सेकंड बचाते हैं।
- "वर्गमूल निकालिए" या "cube root का अनुमान लगाइए" वाला प्रश्न तो लगभग एक उपहार है — पूरे एक अंक के लिए 30 सेकंड।
- रोज़मर्रा की ज़िंदगी में, आप इसका उपयोग यह जानने के लिए करते हैं कि कोई फर्श कितनी टाइलों से ढकेगा, एक वर्गाकार कमरा कितना नापता है, या एक घनाकार टंकी कितना पानी रखती है।
तो यह महारत हासिल करने के लिए सबसे सस्ते विषयों में से एक है: एक छोटी-सी तालिका याद कीजिए, तीन शॉर्टकट सीखिए, थोड़ा अभ्यास कीजिए, और आपके कुछ अंक पक्के। शांत रहिए — यह सचमुच मज़ेदार है।